当交易员用上火箭科学！波和导数检测出艾略特浪、双顶及及因子构建

这篇文章的部分思想来自于 John Ehlers。他曾是雷神的工程师，当年是为NASA造火箭的。他有深厚的数字信号处理（DSP）技术背景，为石油钻探发明了最大熵频谱分析（MESA）。这种分析方法能为短暂的地震回波提供高分辩率的显示。

随后，他把这种方法应用到金融领域，并开创了名为MESA的软件公司，为交易者提供相关分析软件和教育服务。

他和JM Hurst是在证券的周期分析上贡献最大的几人之一。John Ehlers还发表了许多专著，包括《交易者的火箭科学》等。

不过，直到1989年Python才被发明，直到千禧年左右才广为人知，所以，John Ehlers的许多思想，是使用一种所谓的Easy Language表达的。我们尝试使用Python来传达他的一些思想，并加入了自己的理解与拓展。最后，我们将介绍基于这种思想，发现的一个因子。

毫无疑问，证券价格是一种变形的周期信号。它的基本走势由公司的价值决定，叠加交易产生的波动。

加速成长的公司，比如，正在浪头上的科技股，它们的价值曲线可能是指数函数，比如90年代的思科、2000年前后的微软，后来的苹果和现在的英伟达。基础服务类的公司，它们的价值曲线应该是参照GDP增长的直线。

Info

说到苹果，最近发布的 Mac Mini 4是相当不错。正在抢购中。几年前入手的 Macbook M1压缩mp4视频能达到6：1的加速比，Mac Mini 4估计加速比能到30:1甚至更高了，也就是1小时的影片，应该不到2分钟完成编码压缩完成。

波动则由不同风格、不同资金管理周期（其倒数即为频率）的投资者驱动。这两类曲线合成了最终的走势，并且重大事件将改变周期规律。

下面这个函数将生成一个震荡向上的价格序列。它由一条向上的直线和一个sine曲线合成。

def gen_wave_price(size, waves, slope, amp = 0.3, phase=0):
    time = np.arange(size)
    amp_factor = time * amp
    freq = 2 * np.pi * waves / size

    y = amp_factor * np.sin(freq * time + phase) + time * slope
    return y

y = gen_wave_price(100, 3, 0.5, 0.25)
plt.plot(np.arange(100), y)

这将生成以下图形：

图1. 震荡向上走势

实际上，我们已经合成了一个艾略特驱动浪：

艾略特上升5浪

合成双顶和头肩顶¶

关于双顶和头肩顶，我有很好的检测算法。不过，如果你对波更感兴趣的话，我可以用sine函数来捏一个。

x = np.linspace(1, 10, 100)
y = np.sin(x) + .33 * np.sin(3*x)

plt.plot(x, y)

图2 双头

头肩顶只需要再加一个sine波：

x = np.linspace(1, 10, 100)
y = np.sin(x) + .1* np.sin(3*x) + .2 * np.sin(5*x)

plt.plot(x, y)

图3 头肩顶

如果要检测股价序列中，是否存在双头，我们可以使用scipy中的curve_fit函数。既然\(np.sin(x) + .33 * np.sin(3*x)\)能拟合出双头，那么，如果我们能从价格序列中，通过curve_fit找出类似的函数，再判断参数和估计误差，就能判断是否存在双头。

这个函数泛化后，应该表示为：

from scipy.optimize import curve_fit, differential_evolution

# 待推断函数
def model(x, a, b, c, d):
    return a * np.sin(b * x) + c * np.sin(d * x)

# 目标函数
def objective(params):
    a, b, c, d = params
    y_fit = model(x, a, b, c, d)
    error = np.sum((y - y_fit) ** 2)
    return error

# 推断和绘图
def inference_and_plot(x, y):
    bounds = [(0, np.max(y)), (0, len(x)), (0, 1), (0, len(x))]
    result = differential_evolution(objective, bounds)

    initial_guess = result.x
    params, params_covariance = curve_fit(model, x, y, p0=initial_guess)

    plt.plot(x, y)
    plt.plot(x, model(x, *params), 
             label='拟合曲线', 
             color='red', 
             linewidth=2)
    return params, params_covariance


# 增加一点噪声
x = np.linspace(1, 10, 100)
y = np.sin(x) + .33* np.sin(3*x)
y += np.random.normal(0.05, 0.1, size=100)
inference_and_plot(x[60:], y[60:])

图4 双头推断

这里使用了差分进化算法来自动发现参数。

我们把蓝色部分当成是真实的股价序列，红色曲线就是通过差分进化算法推断出来的拟合曲线。

波和导数¶

到目前为止，我们还只进行了铺垫和前戏，只是为了说明股价序列确实具有波的特性。既然如此，我们把波的一些特性给用起来。

正弦波有一个有意思的特性，就是它的导数是一个余弦波，即：

\(\frac{d}{dt}sin(\omega t)=(\frac{1}{\omega})\times cos(\omega t)\)

求导之后，变成频率相同的余弦波，而余弦波是相位提前的正弦波。我们来验证一下。

t = np.linspace(1, 10, 100)

# 原函数
y = np.sin(t)

# 导函数
dy = np.diff(y)
dy = np.insert(dy, 0, np.nan)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
line1, = ax.plot(y, label="原函数")

ax2 = ax.twinx()
ax2.grid(False)
line2, = ax2.plot(dy, '-', color='orange', label="导数")

lines = [line1, line2]
labels = [line.get_label() for line in lines]
plt.legend(lines, labels, loc="upper right")
plt.show()

图5 导函数与原函数关系

蓝色的线是原来的股价，黄色的则是它的导数。从图中可以看出，求导之后，频率不变，振幅变小了，相位提前，并且黄色线的每一个波峰和波谷，后面都对应着蓝色线的波峰和波谷。这意味着什么呢？

如果原函数是一个波函数，现在，我们就能提前预测波峰和波谷了。上图清楚地显示了这一点。

几乎所有的技术指标都是落后指标，但是，导函数居然帮我们预言了波峰与波谷的到来！

Tip

不要感到震惊！其实很多量化人都已经在一种浑然不知的状态下使用这个特性了。比如，你几乎肯定用过三周期的np.diff再加np.mean。只要你用了np.diff数据，就在某种程度上使用了导数。但是，清楚地知道这一特性，我们才知道何时使用、何时放弃。

让我们把话说得再明白一点：

如果原函数是一个波函数，那么，通过寻找导函数的波峰与波谷（这是利用已经发生的数据），就能提前1/4周期知道原函数何时到波峰与波谷 -- 惟一的前提是，规律在这么短的时间里，不发生改变 -- 不会总是这样，但总有一些时间、一些品种上，规律确实会保持，而你要做的，就是运用强大算力，尽快发现它们。

我们将在《因子分析与机器学习策略》课程中，将这个特性转换成一个特征，加入到机器学习模型中，以提高其对顶和底的预测能力。课程还在进行中，现在加入，会是未来几个月中，价格最低的时候。

课程助理小姐姐在这里等你！

不过，在构建机器学习模型之前，我们可以先用这个特性构建一个因子。

点击查看源码

我使用2018年到2023年间随机抽取的2000支个股，进行了因子验证，得到以下结果：

	1D	5D	10D
Ann. alpha	0.138	0.096	0.078
beta	0.036	0.064	0.058
Mean Period Wise Return Top Quantile (bps)	-1.180	-1.613	-1.580
Mean Period Wise Return Bottom Quantile (bps)	-15.671	-11.045	-9.155
Mean Period Wise Spread (bps)	14.491	9.531	7.650